Een breuk is een uitdrukking zoals of waarmee je eenvoudig verhoudingen kunt weergeven. Je kunt met breuken ook rekenen en je kunt ze omzetten naar kommagetallen. Rekenen met kommagetallen is – zeker met een rekenmachine – erg handig maar dikwijls is rekenen met breuken toch veel duidelijker en sneller. Het is daarom belangrijk met beide vertrouwd te zijn.

Breuken en pralines

Een bekende Belgische chocolatier verkoopt zeer lekkere (maar jammer genoeg ook tamelijk dure) pralines in doosjes van 8 stuks. In elk doosje zitten er steeds twee met witte chocolade en zes met bruine chocolade. Dit betekent dat twee van de acht pralines wit zijn en zes van de acht pralines bruin. Twee-van-de-acht schrijf je wiskundig als , zes-van-de-acht als .

Het is duidelijk dat als je twee doosjes koopt er vier-van-de-zestien, dus witte pralines zijn. Als de chocolatier ook kleinere doosjes met dezelfde verhouding witte en bruine pralines zou willen verkopen, kan dat enkel in doosjes van vier, met één witte en drie bruine pralines.

Hoeveel doosjes je ook koopt, telkens zal er één op de vier pralines wit zijn. We zeggen

één vierde of of ook wel (van de) pralines is wit.

Het is duidelijk dat , of precies dezelfde verhouding uitdrukken van witte pralines ten opzichte van alle pralines.

We zullen verder in deze tekst uitleggen waarom je ook kan zeggen dat 25% van de pralines wit is, of dat de verhouding van de witte pralines ten opzichte van alle pralines 1 op vier is, of dat er 0,25 keer zoveel witte pralines zijn als er in het totaal pralines zijn.

Uitdaging?

Wie tijd heeft om even na te denken kan opmerken dat je ook kan zeggen dat er drie keer zoveel bruine pralines zijn als witte pralines. Je kunt je dan afvragen waar dat getal drie precies vandaan komt als één op vier van alle pralines wit is. En hoe werkt dat als één op zes, of één op drie van alle pralines wit is? Wat is dan de verhouding van de witte pralines ten opzichte van de bruine?

Met de breuk komt het getal overeen door ’de breuk uit te rekenen als een deling’: . Merk wel op dat ook de breuken en overeenkomen met het getal . Het blijkt handig om af te spreken dat breuken zoals , , en allemaal aan elkaar gelijk zijn.

We leggen deze afspraken formeler vast in volgende definitie:

Merk op dat twee breuken met onderling verschillende tellers en noemers dus toch aan elkaar gelijk kunnen zijn: want ze hebben allemaal de waarde .

Alle breuken die gelijk zijn aan kan je schrijven als met een getal verschillend van nul:

2 2 ⋅1 50 50⋅1 2π 2π ⋅1 - = ---- ---= ----- en ---= ----- 4 2 ⋅2 100 50⋅2 4π 2π ⋅2

en al deze breuken zijn ook onderling gelijk want ze hebben elk waarde . In het algemeen geldt:

Uit deze eigenschap volgt dat in een breuk geldt dat:

teller en noemer mag je vermenigvuldigen met eender welk getal (behalve 0)
teller en noemer mag je delen door eender welk getal (behalve 0)

Erg dikwijls zijn de getallen in de breuk gehele getallen, en dan is volgende afspraak zinvol:

Uitweiding 1: Breuken en rationale getallen

Als in een breuk zowel als gehele getallen zijn, en de breuk dus een verhouding of ratio is van gehele getallen, noemen we die verhouding of ratio een rationaal getal. Dat kan opnieuw een geheel getal zijn, zoals bij , maar meestal is het een kommagetal zoals bij of .

Let wel op dat je niet elk kommagetal als een breuk kan schrijven, en dat dus niet elk kommagetal een rationaal getal is. Zo zijn en wel kommagetallen maar men heeft kunnen bewijzen dat je ze onmogelijk kan schrijven als een ratio van twee gehele getallen. Het zijn dus geen rationale getallen. In de wiskunde noemt men kommagetallen ook reële getallen. Men noteert de verzameling van al die kommagetallen met het symbool .

2024-08-08 11:22:59